Resolver sqrt{x+1}=x-5

$$\sqrt{ x+1 } = x-5$$

Resolva para x

$$x=8$$

Passos Para a Resolução

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}=\left(x-5\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x+1} elevado a 2 e obtenha x+1.

$$x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-5\right)^{2}.

$$x+1=x^{2}-10x+25$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$x+1-x^{2}=-10x+25$$

Adicionar 10x em ambos os lados.

$$x+1-x^{2}+10x=25$$

Combine x e 10x para obter 11x.

$$11x+1-x^{2}=25$$

Subtraia 25 de ambos os lados.

$$11x+1-x^{2}-25=0$$

Subtraia 25 de 1 para obter -24.

$$11x-24-x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-x^{2}+11x-24=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx-24. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=11 ab=-\left(-24\right)=24$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

A solução é o par que devolve a soma 11.

$$a=8 b=3$$

Reescreva -x^{2}+11x-24 como \left(-x^{2}+8x\right)+\left(3x-24\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(3x-24\right)$$

Fator out -x no primeiro e 3 no segundo grupo.

$$-x\left(x-8\right)+3\left(x-8\right)$$

Decomponha o termo comum x-8 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-8\right)\left(-x+3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-8=0 e -x+3=0.

$$x=8 x=3$$

Substitua 8 por x na equação \sqrt{x+1}=x-5.

$$\sqrt{8+1}=8-5$$

Simplifique. O valor x=8 satisfaz a equação.

$$3=3$$

Substitua 3 por x na equação \sqrt{x+1}=x-5.

$$\sqrt{3+1}=3-5$$

Simplifique. O valor x=3 não satisfaz a equação porque o lado esquerdo e o lado direito têm sinais opostos.

$$2=-2$$

A equação \sqrt{x+1}=x-5 tem uma solução única.

$$x=8$$