Resolver sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5}

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Resolva para x

$$x=14$$

$$x=6$$

Passos Para a Resolução

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{2x-3} elevado a 2 e obtenha 2x-3.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x-5} elevado a 2 e obtenha x-5.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

Subtraia 5 de 4 para obter -1.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

Subtraia -1+x de ambos os lados da equação.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

Para calcular o oposto de -1+x, calcule o oposto de cada termo.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

Some -3 e 1 para obter -2.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

Combine 2x e -x para obter x.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Expanda \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calcule 4 elevado a 2 e obtenha 16.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x-5} elevado a 2 e obtenha x-5.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 16 por x-5.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Subtraia 16x de ambos os lados.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

Combine -4x e -16x para obter -20x.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Adicionar 80 em ambos os lados.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

Some 4 e 80 para obter 84.

$$x^{2}-20x+84=0$$

Para resolver a equação, o fator x^{2}-20x+84 utilizando a fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-20 ab=84$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 84.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

A solução é o par que devolve a soma -20.

$$a=-14 b=-6$$

Reescreva a expressão \left(x+a\right)\left(x+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-14=0 e x-6=0.

$$x=14 x=6$$

Substitua 14 por x na equação \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Simplifique. O valor x=14 satisfaz a equação.

$$5=5$$

Substitua 6 por x na equação \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Simplifique. O valor x=6 satisfaz a equação.

$$3=3$$

Listar todas as soluções de \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2.

$$x=14 x=6$$