Resolver sqrt{1-x}+sqrt{1+x}=sqrt{2}

$$\sqrt{ 1-x } + \sqrt{ 1+x } = \sqrt{ 2 }$$

Resolva para x

$$x=1$$

$$x=-1$$

Passos Para a Resolução

Subtraia \sqrt{1+x} de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{1-x}=\sqrt{2}-\sqrt{1+x}$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{1-x} elevado a 2 e obtenha 1-x.

$$1-x=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$1-x=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

O quadrado de \sqrt{2} é 2.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{1+x} elevado a 2 e obtenha 1+x.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+1+x$$

Some 2 e 1 para obter 3.

$$1-x=3-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+x$$

Subtraia 3+x de ambos os lados da equação.

$$1-x-\left(3+x\right)=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Para calcular o oposto de 3+x, calcule o oposto de cada termo.

$$1-x-3-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Subtraia 3 de 1 para obter -2.

$$-2-x-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Combine -x e -x para obter -2x.

$$-2-2x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(-2-2x\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(-2-2x\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Expanda \left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Calcule -2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$4+8x+4x^{2}=4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

O quadrado de \sqrt{2} é 2.

$$4+8x+4x^{2}=4\times 2\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Multiplique 4 e 2 para obter 8.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{1+x} elevado a 2 e obtenha 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(1+x\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 8 por 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8+8x$$

Subtraia 8 de ambos os lados.

$$4+8x+4x^{2}-8=8x$$

Subtraia 8 de 4 para obter -4.

$$-4+8x+4x^{2}=8x$$

Subtraia 8x de ambos os lados.

$$-4+8x+4x^{2}-8x=0$$

Combine 8x e -8x para obter 0.

$$-4+4x^{2}=0$$

Divida ambos os lados por 4.

$$-1+x^{2}=0$$

Considere -1+x^{2}. Reescreva -1+x^{2} como x^{2}-1^{2}. A diferença de quadrados pode ser fatorizada através da regra: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-1=0 e x+1=0.

$$x=1 x=-1$$

Substitua 1 por x na equação \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-1}+\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$

Simplifique. O valor x=1 satisfaz a equação.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Substitua -1 por x na equação \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-\left(-1\right)}+\sqrt{1-1}=\sqrt{2}$$

Simplifique. O valor x=-1 satisfaz a equação.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Listar todas as soluções de \sqrt{1-x}=-\sqrt{x+1}+\sqrt{2}.

$$x=1 x=-1$$