Resolver sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

Resolva para x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Passos Para a Resolução

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

O mínimo múltiplo comum de 2 e 4 é 4. Converta \frac{1}{2} e \frac{1}{4} em frações com o denominador 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Uma vez que \frac{2}{4} e \frac{1}{4} têm o mesmo denominador, some-os ao somar os respetivos numeradores.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Some 2 e 1 para obter 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

O mínimo múltiplo comum de 4 e 8 é 8. Converta \frac{3}{4} e \frac{1}{8} em frações com o denominador 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Uma vez que \frac{6}{8} e \frac{1}{8} têm o mesmo denominador, some-os ao somar os respetivos numeradores.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Some 6 e 1 para obter 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

O mínimo múltiplo comum de 8 e 16 é 16. Converta \frac{7}{8} e \frac{1}{16} em frações com o denominador 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Uma vez que \frac{14}{16} e \frac{1}{16} têm o mesmo denominador, some-os ao somar os respetivos numeradores.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Some 14 e 1 para obter 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Calcule \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} elevado a 2 e obtenha \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, \frac{1}{2} por b e \frac{15}{16} por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de \frac{1}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Some \frac{1}{4} com \frac{15}{4} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} quando ± for uma adição. Some -\frac{1}{2} com 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Divida \frac{3}{2} por -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 2 de -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Divida -\frac{5}{2} por -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

A equação está resolvida.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Substitua -\frac{3}{4} por x na equação \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Simplifique. O valor x=-\frac{3}{4} não satisfaz a equação porque o lado esquerdo e o lado direito têm sinais opostos.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Substitua \frac{5}{4} por x na equação \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Simplifique. O valor x=\frac{5}{4} satisfaz a equação.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

A equação \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x tem uma solução única.

$$x=\frac{5}{4}$$