Resolver sqrt{x-6}=8-x

$$\sqrt { x - 6 } = 8 - x$$

Resolva para x

$$x=7$$

Passos Para a Resolução

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{x-6}\right)^{2}=\left(8-x\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x-6} elevado a 2 e obtenha x-6.

$$x-6=\left(8-x\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(8-x\right)^{2}.

$$x-6=64-16x+x^{2}$$

Subtraia 64 de ambos os lados.

$$x-6-64=-16x+x^{2}$$

Subtraia 64 de -6 para obter -70.

$$x-70=-16x+x^{2}$$

Adicionar 16x em ambos os lados.

$$x-70+16x=x^{2}$$

Combine x e 16x para obter 17x.

$$17x-70=x^{2}$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$17x-70-x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-x^{2}+17x-70=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx-70. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=17 ab=-\left(-70\right)=70$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 70.

$$1,70 2,35 5,14 7,10$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+70=71 2+35=37 5+14=19 7+10=17$$

A solução é o par que devolve a soma 17.

$$a=10 b=7$$

Reescreva -x^{2}+17x-70 como \left(-x^{2}+10x\right)+\left(7x-70\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(7x-70\right)$$

Fator out -x no primeiro e 7 no segundo grupo.

$$-x\left(x-10\right)+7\left(x-10\right)$$

Decomponha o termo comum x-10 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(-x+7\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-10=0 e -x+7=0.

$$x=10 x=7$$

Substitua 10 por x na equação \sqrt{x-6}=8-x.

$$\sqrt{10-6}=8-10$$

Simplifique. O valor x=10 não satisfaz a equação porque o lado esquerdo e o lado direito têm sinais opostos.

$$2=-2$$

Substitua 7 por x na equação \sqrt{x-6}=8-x.

$$\sqrt{7-6}=8-7$$

Simplifique. O valor x=7 satisfaz a equação.

$$1=1$$

A equação \sqrt{x-6}=8-x tem uma solução única.

$$x=7$$