Resolver sqrt{x-3}+sqrt{2x-2}=2

$$\sqrt { x - 3 } + \sqrt { 2 x - 2 } = 2$$

Resolva para x

$$x=3$$

Passos Para a Resolução

Subtraia \sqrt{2x-2} de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{x-3}=2-\sqrt{2x-2}$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x-3} elevado a 2 e obtenha x-3.

$$x-3=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{2x-2} elevado a 2 e obtenha 2x-2.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+2x-2$$

Subtraia 2 de 4 para obter 2.

$$x-3=2-4\sqrt{2x-2}+2x$$

Subtraia 2+2x de ambos os lados da equação.

$$x-3-\left(2+2x\right)=-4\sqrt{2x-2}$$

Para calcular o oposto de 2+2x, calcule o oposto de cada termo.

$$x-3-2-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Subtraia 2 de -3 para obter -5.

$$x-5-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Combine x e -2x para obter -x.

$$-x-5=-4\sqrt{2x-2}$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(-x-5\right)^{2}=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(-x-5\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Expanda \left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calcule -4 elevado a 2 e obtenha 16.

$$x^{2}+10x+25=16\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{2x-2} elevado a 2 e obtenha 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=16\left(2x-2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 16 por 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=32x-32$$

Subtraia 32x de ambos os lados.

$$x^{2}+10x+25-32x=-32$$

Combine 10x e -32x para obter -22x.

$$x^{2}-22x+25=-32$$

Adicionar 32 em ambos os lados.

$$x^{2}-22x+25+32=0$$

Some 25 e 32 para obter 57.

$$x^{2}-22x+57=0$$

Para resolver a equação, o fator x^{2}-22x+57 utilizando a fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-22 ab=57$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 57.

$$-1,-57 -3,-19$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-57=-58 -3-19=-22$$

A solução é o par que devolve a soma -22.

$$a=-19 b=-3$$

Reescreva a expressão \left(x+a\right)\left(x+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(x-19\right)\left(x-3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-19=0 e x-3=0.

$$x=19 x=3$$

Substitua 19 por x na equação \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{19-3}+\sqrt{2\times 19-2}=2$$

Simplifique. O valor x=19 não satisfaz a equação.

$$10=2$$

Substitua 3 por x na equação \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{3-3}+\sqrt{2\times 3-2}=2$$

Simplifique. O valor x=3 satisfaz a equação.

$$2=2$$

A equação \sqrt{x-3}=-\sqrt{2x-2}+2 tem uma solução única.

$$x=3$$