Resolver sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Resolva para x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Passos Para a Resolução

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x^{2}-1} elevado a 2 e obtenha x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{2x+1} elevado a 2 e obtenha 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Subtraia 2x de ambos os lados.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Subtraia 1 de ambos os lados.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Subtraia 1 de -1 para obter -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, -2 por b e -2 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Calcule o quadrado de -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Multiplique -4 vezes -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Some 4 com 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

O oposto de -2 é 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} quando ± for uma adição. Some 2 com 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Divida 2+2\sqrt{3} por 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Agora, resolva a equação x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 2\sqrt{3} de 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Divida 2-2\sqrt{3} por 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

A equação está resolvida.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Substitua \sqrt{3}+1 por x na equação \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Simplifique. O valor x=\sqrt{3}+1 satisfaz a equação.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Substitua 1-\sqrt{3} por x na equação \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Simplifique. O valor x=1-\sqrt{3} satisfaz a equação.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Listar todas as soluções de \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Resolva para x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Passos Para a Resolução

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x^{2}-1} elevado a 2 e obtenha x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{2x+1} elevado a 2 e obtenha 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Subtraia 2x de ambos os lados.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Subtraia 1 de ambos os lados.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Subtraia 1 de -1 para obter -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, -2 por b e -2 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Calcule o quadrado de -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Multiplique -4 vezes -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Some 4 com 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

O oposto de -2 é 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} quando ± for uma adição. Some 2 com 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Divida 2+2\sqrt{3} por 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Agora, resolva a equação x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 2\sqrt{3} de 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Divida 2-2\sqrt{3} por 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

A equação está resolvida.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Substitua \sqrt{3}+1 por x na equação \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Simplifique. O valor x=\sqrt{3}+1 satisfaz a equação.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Substitua 1-\sqrt{3} por x na equação \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. A expressão \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} não está definida porque o radicando não pode ser negativo.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

A equação \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} tem uma solução única.

$$x=\sqrt{3}+1$$