Resolver sqrt{x^2+2x+9}-7=2x

$$\sqrt { x ^ { 2 } + 2 x + 9 } - 7 = 2 x$$

Resolva para x

$$x=-2$$

Passos Para a Resolução

Subtraia -7 de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{x^{2}+2x+9}\right)^{2}=\left(2x+7\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x^{2}+2x+9} elevado a 2 e obtenha x^{2}+2x+9.

$$x^{2}+2x+9=\left(2x+7\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+7\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+9=4x^{2}+28x+49$$

Subtraia 4x^{2} de ambos os lados.

$$x^{2}+2x+9-4x^{2}=28x+49$$

Combine x^{2} e -4x^{2} para obter -3x^{2}.

$$-3x^{2}+2x+9=28x+49$$

Subtraia 28x de ambos os lados.

$$-3x^{2}+2x+9-28x=49$$

Combine 2x e -28x para obter -26x.

$$-3x^{2}-26x+9=49$$

Subtraia 49 de ambos os lados.

$$-3x^{2}-26x+9-49=0$$

Subtraia 49 de 9 para obter -40.

$$-3x^{2}-26x-40=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -3x^{2}+ax+bx-40. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-26 ab=-3\left(-40\right)=120$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

A solução é o par que devolve a soma -26.

$$a=-6 b=-20$$

Reescreva -3x^{2}-26x-40 como \left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right).

$$\left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right)$$

Fator out 3x no primeiro e 20 no segundo grupo.

$$3x\left(-x-2\right)+20\left(-x-2\right)$$

Decomponha o termo comum -x-2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-x-2\right)\left(3x+20\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva -x-2=0 e 3x+20=0.

$$x=-2 x=-\frac{20}{3}$$

Substitua -2 por x na equação \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x.

$$\sqrt{\left(-2\right)^{2}+2\left(-2\right)+9}-7=2\left(-2\right)$$

Simplifique. O valor x=-2 satisfaz a equação.

$$-4=-4$$

Substitua -\frac{20}{3} por x na equação \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x.

$$\sqrt{\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}+2\left(-\frac{20}{3}\right)+9}-7=2\left(-\frac{20}{3}\right)$$

Simplifique. O valor x=-\frac{20}{3} não satisfaz a equação.

$$-\frac{2}{3}=-\frac{40}{3}$$

A equação \sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7 tem uma solução única.

$$x=-2$$