Resolver sqrt{x+6}-sqrt{9x+70}=-2sqrt{x+9}

$$\sqrt { x + 6 } - \sqrt { 9 x + 70 } = - 2 \sqrt { x + 9 }$$

Resolva para x

$$x=-5$$

Passos Para a Resolução

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x+6} elevado a 2 e obtenha x+6.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{9x+70} elevado a 2 e obtenha 9x+70.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+9x+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Combine x e 9x para obter 10x.

$$10x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Some 6 e 70 para obter 76.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Expanda \left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calcule -2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x+9} elevado a 2 e obtenha x+9.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(x+9\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4 por x+9.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36$$

Subtraia 10x+76 de ambos os lados da equação.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-\left(10x+76\right)$$

Para calcular o oposto de 10x+76, calcule o oposto de cada termo.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-10x-76$$

Combine 4x e -10x para obter -6x.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x+36-76$$

Subtraia 76 de 36 para obter -40.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x-40$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Expanda \left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Calcule -2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$4\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x+6} elevado a 2 e obtenha x+6.

$$4\left(x+6\right)\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{9x+70} elevado a 2 e obtenha 9x+70.

$$4\left(x+6\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4 por x+6.

$$\left(4x+24\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Aplique a propriedade distributiva ao multiplicar cada termo de 4x+24 por cada termo de 9x+70.

$$36x^{2}+280x+216x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Combine 280x e 216x para obter 496x.

$$36x^{2}+496x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(-6x-40\right)^{2}.

$$36x^{2}+496x+1680=36x^{2}+480x+1600$$

Subtraia 36x^{2} de ambos os lados.

$$36x^{2}+496x+1680-36x^{2}=480x+1600$$

Combine 36x^{2} e -36x^{2} para obter 0.

$$496x+1680=480x+1600$$

Subtraia 480x de ambos os lados.

$$496x+1680-480x=1600$$

Combine 496x e -480x para obter 16x.

$$16x+1680=1600$$

Subtraia 1680 de ambos os lados.

$$16x=1600-1680$$

Subtraia 1680 de 1600 para obter -80.

$$16x=-80$$

Divida ambos os lados por 16.

$$x=\frac{-80}{16}$$

Dividir -80 por 16 para obter -5.

$$x=-5$$

Substitua -5 por x na equação \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9}.

$$\sqrt{-5+6}-\sqrt{9\left(-5\right)+70}=-2\sqrt{-5+9}$$

Simplifique. O valor x=-5 satisfaz a equação.

$$-4=-4$$

A equação \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9} tem uma solução única.

$$x=-5$$