Resolver sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt { x + 3 } + \sqrt { x + 6 } = \sqrt { x + 11 }$$

Resolva para x

$$x=-2$$

Passos Para a Resolução

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x+3} elevado a 2 e obtenha x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x+6} elevado a 2 e obtenha x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Combine x e x para obter 2x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Some 3 e 6 para obter 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x+11} elevado a 2 e obtenha x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Subtraia 2x+9 de ambos os lados da equação.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

Para calcular o oposto de 2x+9, calcule o oposto de cada termo.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Combine x e -2x para obter -x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Subtraia 9 de 11 para obter 2.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Expanda \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calcule 2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x+3} elevado a 2 e obtenha x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x+6} elevado a 2 e obtenha x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4 por x+3.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Aplique a propriedade distributiva ao multiplicar cada termo de 4x+12 por cada termo de x+6.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Combine 24x e 12x para obter 36x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(-x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Combine 4x^{2} e -x^{2} para obter 3x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Adicionar 4x em ambos os lados.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Combine 36x e 4x para obter 40x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Subtraia 4 de ambos os lados.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Subtraia 4 de 72 para obter 68.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 3x^{2}+ax+bx+68. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 204.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

A solução é o par que devolve a soma 40.

$$a=6 b=34$$

Reescreva 3x^{2}+40x+68 como \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

Fator out 3x no primeiro e 34 no segundo grupo.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Decomponha o termo comum x+2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x+2=0 e 3x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Substitua -\frac{34}{3} por x na equação \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. A expressão \sqrt{-\frac{34}{3}+3} não está definida porque o radicando não pode ser negativo.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Substitua -2 por x na equação \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Simplifique. O valor x=-2 satisfaz a equação.

$$3=3$$

A equação \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} tem uma solução única.

$$x=-2$$