Resolver sqrt{x+2}-sqrt{2-x}=2

$$\sqrt { x + 2 } - \sqrt { 2 - x } = 2$$

Resolva para x

$$x=2$$

Passos Para a Resolução

Subtraia -\sqrt{2-x} de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{x+2}=2+\sqrt{2-x}$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{2-x}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x+2} elevado a 2 e obtenha x+2.

$$x+2=\left(2+\sqrt{2-x}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{2-x}\right)^{2}.

$$x+2=4+4\sqrt{2-x}+\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{2-x} elevado a 2 e obtenha 2-x.

$$x+2=4+4\sqrt{2-x}+2-x$$

Some 4 e 2 para obter 6.

$$x+2=6+4\sqrt{2-x}-x$$

Subtraia 6-x de ambos os lados da equação.

$$x+2-\left(6-x\right)=4\sqrt{2-x}$$

Para calcular o oposto de 6-x, calcule o oposto de cada termo.

$$x+2-6+x=4\sqrt{2-x}$$

Subtraia 6 de 2 para obter -4.

$$x-4+x=4\sqrt{2-x}$$

Combine x e x para obter 2x.

$$2x-4=4\sqrt{2-x}$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(2x-4\right)^{2}=\left(4\sqrt{2-x}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-4\right)^{2}.

$$4x^{2}-16x+16=\left(4\sqrt{2-x}\right)^{2}$$

Expanda \left(4\sqrt{2-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-16x+16=4^{2}\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}$$

Calcule 4 elevado a 2 e obtenha 16.

$$4x^{2}-16x+16=16\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{2-x} elevado a 2 e obtenha 2-x.

$$4x^{2}-16x+16=16\left(2-x\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 16 por 2-x.

$$4x^{2}-16x+16=32-16x$$

Subtraia 32 de ambos os lados.

$$4x^{2}-16x+16-32=-16x$$

Subtraia 32 de 16 para obter -16.

$$4x^{2}-16x-16=-16x$$

Adicionar 16x em ambos os lados.

$$4x^{2}-16x-16+16x=0$$

Combine -16x e 16x para obter 0.

$$4x^{2}-16=0$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x^{2}-4=0$$

Considere x^{2}-4. Reescreva x^{2}-4 como x^{2}-2^{2}. A diferença de quadrados pode ser fatorizada através da regra: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-2=0 e x+2=0.

$$x=2 x=-2$$

Substitua 2 por x na equação \sqrt{x+2}-\sqrt{2-x}=2.

$$\sqrt{2+2}-\sqrt{2-2}=2$$

Simplifique. O valor x=2 satisfaz a equação.

$$2=2$$

Substitua -2 por x na equação \sqrt{x+2}-\sqrt{2-x}=2.

$$\sqrt{-2+2}-\sqrt{2-\left(-2\right)}=2$$

Simplifique. O valor x=-2 não satisfaz a equação porque o lado esquerdo e o lado direito têm sinais opostos.

$$-2=2$$

Substitua 2 por x na equação \sqrt{x+2}-\sqrt{2-x}=2.

$$\sqrt{2+2}-\sqrt{2-2}=2$$

Simplifique. O valor x=2 satisfaz a equação.

$$2=2$$

A equação \sqrt{x+2}=\sqrt{2-x}+2 tem uma solução única.

$$x=2$$