Resolver sqrt{q+2}+1=sqrt{3q+7}

$$\sqrt { q + 2 } + 1 = \sqrt { 3 q + 7 }$$

Resolva para q

$$q=-1$$

$$q=-2$$

Passos Para a Resolução

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{q+2}+1\right)^{2}=\left(\sqrt{3q+7}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{q+2}+1\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{q+2}\right)^{2}+2\sqrt{q+2}+1=\left(\sqrt{3q+7}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{q+2} elevado a 2 e obtenha q+2.

$$q+2+2\sqrt{q+2}+1=\left(\sqrt{3q+7}\right)^{2}$$

Some 2 e 1 para obter 3.

$$q+3+2\sqrt{q+2}=\left(\sqrt{3q+7}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{3q+7} elevado a 2 e obtenha 3q+7.

$$q+3+2\sqrt{q+2}=3q+7$$

Subtraia q+3 de ambos os lados da equação.

$$2\sqrt{q+2}=3q+7-\left(q+3\right)$$

Para calcular o oposto de q+3, calcule o oposto de cada termo.

$$2\sqrt{q+2}=3q+7-q-3$$

Combine 3q e -q para obter 2q.

$$2\sqrt{q+2}=2q+7-3$$

Subtraia 3 de 7 para obter 4.

$$2\sqrt{q+2}=2q+4$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(2\sqrt{q+2}\right)^{2}=\left(2q+4\right)^{2}$$

Expanda \left(2\sqrt{q+2}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{q+2}\right)^{2}=\left(2q+4\right)^{2}$$

Calcule 2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$4\left(\sqrt{q+2}\right)^{2}=\left(2q+4\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{q+2} elevado a 2 e obtenha q+2.

$$4\left(q+2\right)=\left(2q+4\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4 por q+2.

$$4q+8=\left(2q+4\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2q+4\right)^{2}.

$$4q+8=4q^{2}+16q+16$$

Subtraia 4q^{2} de ambos os lados.

$$4q+8-4q^{2}=16q+16$$

Subtraia 16q de ambos os lados.

$$4q+8-4q^{2}-16q=16$$

Combine 4q e -16q para obter -12q.

$$-12q+8-4q^{2}=16$$

Subtraia 16 de ambos os lados.

$$-12q+8-4q^{2}-16=0$$

Subtraia 16 de 8 para obter -8.

$$-12q-8-4q^{2}=0$$

Divida ambos os lados por 4.

$$-3q-2-q^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-q^{2}-3q-2=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -q^{2}+aq+bq-2. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. O único par é a solução do sistema.

$$a=-1 b=-2$$

Reescreva -q^{2}-3q-2 como \left(-q^{2}-q\right)+\left(-2q-2\right).

$$\left(-q^{2}-q\right)+\left(-2q-2\right)$$

Fator out q no primeiro e 2 no segundo grupo.

$$q\left(-q-1\right)+2\left(-q-1\right)$$

Decomponha o termo comum -q-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-q-1\right)\left(q+2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva -q-1=0 e q+2=0.

$$q=-1 q=-2$$

Substitua -1 por q na equação \sqrt{q+2}+1=\sqrt{3q+7}.

$$\sqrt{-1+2}+1=\sqrt{3\left(-1\right)+7}$$

Simplifique. O valor q=-1 satisfaz a equação.

$$2=2$$

Substitua -2 por q na equação \sqrt{q+2}+1=\sqrt{3q+7}.

$$\sqrt{-2+2}+1=\sqrt{3\left(-2\right)+7}$$

Simplifique. O valor q=-2 satisfaz a equação.

$$1=1$$

Listar todas as soluções de \sqrt{q+2}+1=\sqrt{3q+7}.

$$q=-1 q=-2$$