Resolver sqrt{7x+67}=2x+5

$$\sqrt { 7 x + 67 } = 2 x + 5$$

Resolva para x

$$x=2$$

Passos Para a Resolução

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{7x+67}\right)^{2}=\left(2x+5\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{7x+67} elevado a 2 e obtenha 7x+67.

$$7x+67=\left(2x+5\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+5\right)^{2}.

$$7x+67=4x^{2}+20x+25$$

Subtraia 4x^{2} de ambos os lados.

$$7x+67-4x^{2}=20x+25$$

Subtraia 20x de ambos os lados.

$$7x+67-4x^{2}-20x=25$$

Combine 7x e -20x para obter -13x.

$$-13x+67-4x^{2}=25$$

Subtraia 25 de ambos os lados.

$$-13x+67-4x^{2}-25=0$$

Subtraia 25 de 67 para obter 42.

$$-13x+42-4x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-4x^{2}-13x+42=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -4x^{2}+ax+bx+42. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-13 ab=-4\times 42=-168$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -168.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

A solução é o par que devolve a soma -13.

$$a=8 b=-21$$

Reescreva -4x^{2}-13x+42 como \left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right).

$$\left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right)$$

Fator out 4x no primeiro e 21 no segundo grupo.

$$4x\left(-x+2\right)+21\left(-x+2\right)$$

Decomponha o termo comum -x+2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-x+2\right)\left(4x+21\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva -x+2=0 e 4x+21=0.

$$x=2 x=-\frac{21}{4}$$

Substitua 2 por x na equação \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\times 2+67}=2\times 2+5$$

Simplifique. O valor x=2 satisfaz a equação.

$$9=9$$

Substitua -\frac{21}{4} por x na equação \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\left(-\frac{21}{4}\right)+67}=2\left(-\frac{21}{4}\right)+5$$

Simplifique. O valor x=-\frac{21}{4} não satisfaz a equação porque o lado esquerdo e o lado direito têm sinais opostos.

$$\frac{11}{2}=-\frac{11}{2}$$

A equação \sqrt{7x+67}=2x+5 tem uma solução única.

$$x=2$$