Resolver sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Resolva para x

$$x=2$$

Passos Para a Resolução

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{5x-1} elevado a 2 e obtenha 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{3x-2} elevado a 2 e obtenha 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Combine 5x e 3x para obter 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Subtraia 2 de -1 para obter -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x-1} elevado a 2 e obtenha x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Subtraia 8x-3 de ambos os lados da equação.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Para calcular o oposto de 8x-3, calcule o oposto de cada termo.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Combine x e -8x para obter -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Some -1 e 3 para obter 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Expanda \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calcule -2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{5x-1} elevado a 2 e obtenha 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{3x-2} elevado a 2 e obtenha 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4 por 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Aplique a propriedade distributiva ao multiplicar cada termo de 20x-4 por cada termo de 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Combine -40x e -12x para obter -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Subtraia 49x^{2} de ambos os lados.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Combine 60x^{2} e -49x^{2} para obter 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Adicionar 28x em ambos os lados.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Combine -52x e 28x para obter -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Subtraia 4 de ambos os lados.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Subtraia 4 de 8 para obter 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 11x^{2}+ax+bx+4. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

A solução é o par que devolve a soma -24.

$$a=-22 b=-2$$

Reescreva 11x^{2}-24x+4 como \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Fator out 11x no primeiro e -2 no segundo grupo.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Decomponha o termo comum x-2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-2=0 e 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Substitua \frac{2}{11} por x na equação \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. A expressão \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} não está definida porque o radicando não pode ser negativo.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Substitua 2 por x na equação \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Simplifique. O valor x=2 satisfaz a equação.

$$1=1$$

A equação \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} tem uma solução única.

$$x=2$$