Resolver sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Resolva para x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Passos Para a Resolução

Subtraia -\sqrt{15+x^{2}} de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{25-x^{2}} elevado a 2 e obtenha 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{15+x^{2}} elevado a 2 e obtenha 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Some 16 e 15 para obter 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Subtraia 31+x^{2} de ambos os lados da equação.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Para calcular o oposto de 31+x^{2}, calcule o oposto de cada termo.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Subtraia 31 de 25 para obter -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Combine -x^{2} e -x^{2} para obter -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Para aumentar uma potência para outra potência, multiplique os expoentes. Multiplique 2 e 2 para obter 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Expanda \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcule 8 elevado a 2 e obtenha 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{15+x^{2}} elevado a 2 e obtenha 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 64 por 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Subtraia 960 de ambos os lados.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Subtraia 960 de 36 para obter -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Subtraia 64x^{2} de ambos os lados.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Combine 24x^{2} e -64x^{2} para obter -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Substitua t por x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 4 por a, -40 por b e -924 por c na fórmula quadrática.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Efetue os cálculos.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Resolva a equação t=\frac{40±128}{8} quando ± é mais e quando ± é menos.

$$t=21 t=-11$$

Uma vez que x=t^{2}, as soluções são obtidas através da avaliação de x=±\sqrt{t} para cada t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Substitua -\sqrt{21} por x na equação \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Simplifique. O valor x=-\sqrt{21} não satisfaz a equação porque o lado esquerdo e o lado direito têm sinais opostos.

$$-4=4$$

Substitua \sqrt{21} por x na equação \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Simplifique. O valor x=\sqrt{21} não satisfaz a equação porque o lado esquerdo e o lado direito têm sinais opostos.

$$-4=4$$

Substitua -\sqrt{11}i por x na equação \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Simplifique. O valor x=-\sqrt{11}i satisfaz a equação.

$$4=4$$

Substitua \sqrt{11}i por x na equação \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Simplifique. O valor x=\sqrt{11}i satisfaz a equação.

$$4=4$$

Listar todas as soluções de \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$