Resolver sqrt{2x-1}-2=sqrt{x-4}

$$\sqrt { 2 x - 1 } - 2 = \sqrt { x - 4 }$$

Resolva para x

$$x=13$$

$$x=5$$

Passos Para a Resolução

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{2x-1}-2\right)^{2}=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{2x-1}-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}-4\sqrt{2x-1}+4=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{2x-1} elevado a 2 e obtenha 2x-1.

$$2x-1-4\sqrt{2x-1}+4=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Some -1 e 4 para obter 3.

$$2x+3-4\sqrt{2x-1}=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x-4} elevado a 2 e obtenha x-4.

$$2x+3-4\sqrt{2x-1}=x-4$$

Subtraia 2x+3 de ambos os lados da equação.

$$-4\sqrt{2x-1}=x-4-\left(2x+3\right)$$

Para calcular o oposto de 2x+3, calcule o oposto de cada termo.

$$-4\sqrt{2x-1}=x-4-2x-3$$

Combine x e -2x para obter -x.

$$-4\sqrt{2x-1}=-x-4-3$$

Subtraia 3 de -4 para obter -7.

$$-4\sqrt{2x-1}=-x-7$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(-4\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-7\right)^{2}$$

Expanda \left(-4\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-7\right)^{2}$$

Calcule -4 elevado a 2 e obtenha 16.

$$16\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-7\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{2x-1} elevado a 2 e obtenha 2x-1.

$$16\left(2x-1\right)=\left(-x-7\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 16 por 2x-1.

$$32x-16=\left(-x-7\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(-x-7\right)^{2}.

$$32x-16=x^{2}+14x+49$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$32x-16-x^{2}=14x+49$$

Subtraia 14x de ambos os lados.

$$32x-16-x^{2}-14x=49$$

Combine 32x e -14x para obter 18x.

$$18x-16-x^{2}=49$$

Subtraia 49 de ambos os lados.

$$18x-16-x^{2}-49=0$$

Subtraia 49 de -16 para obter -65.

$$18x-65-x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-x^{2}+18x-65=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx-65. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=18 ab=-\left(-65\right)=65$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 65.

$$1,65 5,13$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+65=66 5+13=18$$

A solução é o par que devolve a soma 18.

$$a=13 b=5$$

Reescreva -x^{2}+18x-65 como \left(-x^{2}+13x\right)+\left(5x-65\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(5x-65\right)$$

Fator out -x no primeiro e 5 no segundo grupo.

$$-x\left(x-13\right)+5\left(x-13\right)$$

Decomponha o termo comum x-13 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-13\right)\left(-x+5\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-13=0 e -x+5=0.

$$x=13 x=5$$

Substitua 13 por x na equação \sqrt{2x-1}-2=\sqrt{x-4}.

$$\sqrt{2\times 13-1}-2=\sqrt{13-4}$$

Simplifique. O valor x=13 satisfaz a equação.

$$3=3$$

Substitua 5 por x na equação \sqrt{2x-1}-2=\sqrt{x-4}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-2=\sqrt{5-4}$$

Simplifique. O valor x=5 satisfaz a equação.

$$1=1$$

Listar todas as soluções de \sqrt{2x-1}-2=\sqrt{x-4}.

$$x=13 x=5$$