Resolver sqrt{2x+13}-3x=9

$$\sqrt { 2 x + 13 } - 3 x = 9$$

Resolva para x

$$x=-2$$

Passos Para a Resolução

Subtraia -3x de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{2x+13}=9+3x$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{2x+13}\right)^{2}=\left(9+3x\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{2x+13} elevado a 2 e obtenha 2x+13.

$$2x+13=\left(9+3x\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(9+3x\right)^{2}.

$$2x+13=81+54x+9x^{2}$$

Subtraia 81 de ambos os lados.

$$2x+13-81=54x+9x^{2}$$

Subtraia 81 de 13 para obter -68.

$$2x-68=54x+9x^{2}$$

Subtraia 54x de ambos os lados.

$$2x-68-54x=9x^{2}$$

Combine 2x e -54x para obter -52x.

$$-52x-68=9x^{2}$$

Subtraia 9x^{2} de ambos os lados.

$$-52x-68-9x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-9x^{2}-52x-68=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -9x^{2}+ax+bx-68. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-52 ab=-9\left(-68\right)=612$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 612.

$$-1,-612 -2,-306 -3,-204 -4,-153 -6,-102 -9,-68 -12,-51 -17,-36 -18,-34$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-612=-613 -2-306=-308 -3-204=-207 -4-153=-157 -6-102=-108 -9-68=-77 -12-51=-63 -17-36=-53 -18-34=-52$$

A solução é o par que devolve a soma -52.

$$a=-18 b=-34$$

Reescreva -9x^{2}-52x-68 como \left(-9x^{2}-18x\right)+\left(-34x-68\right).

$$\left(-9x^{2}-18x\right)+\left(-34x-68\right)$$

Fator out 9x no primeiro e 34 no segundo grupo.

$$9x\left(-x-2\right)+34\left(-x-2\right)$$

Decomponha o termo comum -x-2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-x-2\right)\left(9x+34\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva -x-2=0 e 9x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{9}$$

Substitua -2 por x na equação \sqrt{2x+13}-3x=9.

$$\sqrt{2\left(-2\right)+13}-3\left(-2\right)=9$$

Simplifique. O valor x=-2 satisfaz a equação.

$$9=9$$

Substitua -\frac{34}{9} por x na equação \sqrt{2x+13}-3x=9.

$$\sqrt{2\left(-\frac{34}{9}\right)+13}-3\left(-\frac{34}{9}\right)=9$$

Simplifique. O valor x=-\frac{34}{9} não satisfaz a equação.

$$\frac{41}{3}=9$$

A equação \sqrt{2x+13}=3x+9 tem uma solução única.

$$x=-2$$