Resolver sqrt{2-x}=x-1

$$\sqrt { 2 - x } = x - 1$$

Resolva para x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

Passos Para a Resolução

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{2-x} elevado a 2 e obtenha 2-x.

$$2-x=\left(x-1\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$2-x=x^{2}-2x+1$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$2-x-x^{2}=-2x+1$$

Adicionar 2x em ambos os lados.

$$2-x-x^{2}+2x=1$$

Combine -x e 2x para obter x.

$$2+x-x^{2}=1$$

Subtraia 1 de ambos os lados.

$$2+x-x^{2}-1=0$$

Subtraia 1 de 2 para obter 1.

$$1+x-x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, 1 por b e 1 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Some 1 com 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} quando ± for uma adição. Some -1 com \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Divida -1+\sqrt{5} por -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia \sqrt{5} de -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Divida -1-\sqrt{5} por -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Substitua \frac{1-\sqrt{5}}{2} por x na equação \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1$$

Simplifique. O valor x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} não satisfaz a equação porque o lado esquerdo e o lado direito têm sinais opostos.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Substitua \frac{\sqrt{5}+1}{2} por x na equação \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1$$

Simplifique. O valor x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} satisfaz a equação.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

A equação \sqrt{2-x}=x-1 tem uma solução única.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$