Resolver sqrt{10-3x}=2+sqrt{x+6}

$$\sqrt { 10 - 3 x } = 2 + \sqrt { x + 6 }$$

Resolva para x

$$x=-2$$

Passos Para a Resolução

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{10-3x}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{10-3x} elevado a 2 e obtenha 10-3x.

$$10-3x=\left(2+\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$10-3x=4+4\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x+6} elevado a 2 e obtenha x+6.

$$10-3x=4+4\sqrt{x+6}+x+6$$

Some 4 e 6 para obter 10.

$$10-3x=10+4\sqrt{x+6}+x$$

Subtraia 10+x de ambos os lados da equação.

$$10-3x-\left(10+x\right)=4\sqrt{x+6}$$

Para calcular o oposto de 10+x, calcule o oposto de cada termo.

$$10-3x-10-x=4\sqrt{x+6}$$

Subtraia 10 de 10 para obter 0.

$$-3x-x=4\sqrt{x+6}$$

Combine -3x e -x para obter -4x.

$$-4x=4\sqrt{x+6}$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(-4x\right)^{2}=\left(4\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Expanda \left(-4x\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}x^{2}=\left(4\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Calcule -4 elevado a 2 e obtenha 16.

$$16x^{2}=\left(4\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Expanda \left(4\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$16x^{2}=4^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Calcule 4 elevado a 2 e obtenha 16.

$$16x^{2}=16\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x+6} elevado a 2 e obtenha x+6.

$$16x^{2}=16\left(x+6\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 16 por x+6.

$$16x^{2}=16x+96$$

Subtraia 16x de ambos os lados.

$$16x^{2}-16x=96$$

Subtraia 96 de ambos os lados.

$$16x^{2}-16x-96=0$$

Divida ambos os lados por 16.

$$x^{2}-x-6=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx-6. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-1 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

A solução é o par que devolve a soma -1.

$$a=-3 b=2$$

Reescreva x^{2}-x-6 como \left(x^{2}-3x\right)+\left(2x-6\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(2x-6\right)$$

Fator out x no primeiro e 2 no segundo grupo.

$$x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Decomponha o termo comum x-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(x+2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-3=0 e x+2=0.

$$x=3 x=-2$$

Substitua 3 por x na equação \sqrt{10-3x}=2+\sqrt{x+6}.

$$\sqrt{10-3\times 3}=2+\sqrt{3+6}$$

Simplifique. O valor x=3 não satisfaz a equação.

$$1=5$$

Substitua -2 por x na equação \sqrt{10-3x}=2+\sqrt{x+6}.

$$\sqrt{10-3\left(-2\right)}=2+\sqrt{-2+6}$$

Simplifique. O valor x=-2 satisfaz a equação.

$$4=4$$

A equação \sqrt{10-3x}=\sqrt{x+6}+2 tem uma solução única.

$$x=-2$$