Resolver {l}{3x+5y=4}{x-3y=6}

$$\left.\begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { x - 3 y = 6 } \end{array} \right\}$$

Resolva para x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$3x+5y=4$$

Subtraia 5y de ambos os lados da equação.

$$3x=-5y+4$$

Divida ambos os lados por 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

Multiplique \frac{1}{3} vezes -5y+4.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Substitua \frac{-5y+4}{3} por x na outra equação, x-3y=6.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-3y=6$$

Some -\frac{5y}{3} com -3y.

$$-\frac{14}{3}y+\frac{4}{3}=6$$

Subtraia \frac{4}{3} de ambos os lados da equação.

$$-\frac{14}{3}y=\frac{14}{3}$$

Divida ambos os lados da equação por -\frac{14}{3}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=-1$$

Substitua -1 por y em x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)+\frac{4}{3}$$

Multiplique -\frac{5}{3} vezes -1.

$$x=\frac{5+4}{3}$$

Some \frac{4}{3} com \frac{5}{3} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=3$$

O sistema está resolvido.

$$x=3,y=-1$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-5}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 4+\frac{5}{14}\times 6\\\frac{1}{14}\times 4-\frac{3}{14}\times 6\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=3,y=-1$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Para tornar 3x e x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 1 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 3.

$$3x+5y=4,3x+3\left(-3\right)y=3\times 6$$

Simplifique.

$$3x+5y=4,3x-9y=18$$

Subtraia 3x-9y=18 de 3x+5y=4 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$3x-3x+5y+9y=4-18$$

Some 3x com -3x. Os termos 3x e -3x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$5y+9y=4-18$$

Some 5y com 9y.

$$14y=4-18$$

Some 4 com -18.

$$14y=-14$$

Divida ambos os lados por 14.

$$y=-1$$

Substitua -1 por y em x-3y=6. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x-3\left(-1\right)=6$$

Multiplique -3 vezes -1.

$$x+3=6$$

Subtraia 3 de ambos os lados da equação.

$$x=3$$

O sistema está resolvido.

$$x=3,y=-1$$