Resolver {x=5-y}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { x = 5-y } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=8$$

$$y=-3$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a primeira equação. Adicionar y em ambos os lados.

$$x+y=5$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$x+y=5$$

Subtraia y de ambos os lados da equação.

$$x=-y+5$$

Substitua -y+5 por x na outra equação, 7x+3y=47.

$$7\left(-y+5\right)+3y=47$$

Multiplique 7 vezes -y+5.

$$-7y+35+3y=47$$

Some -7y com 3y.

$$-4y+35=47$$

Subtraia 35 de ambos os lados da equação.

$$-4y=12$$

Divida ambos os lados por -4.

$$y=-3$$

Substitua -3 por y em x=-y+5. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\left(-3\right)+5$$

Multiplique -1 vezes -3.

$$x=3+5$$

Some 5 com 3.

$$x=8$$

O sistema está resolvido.

$$x=8,y=-3$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a primeira equação. Adicionar y em ambos os lados.

$$x+y=5$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{1}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 47\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 47\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=8,y=-3$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a primeira equação. Adicionar y em ambos os lados.

$$x+y=5$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Para tornar x e 7x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 7 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 1.

$$7x+7y=7\times 5,7x+3y=47$$

Simplifique.

$$7x+7y=35,7x+3y=47$$

Subtraia 7x+3y=47 de 7x+7y=35 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$7x-7x+7y-3y=35-47$$

Some 7x com -7x. Os termos 7x e -7x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$7y-3y=35-47$$

Some 7y com -3y.

$$4y=35-47$$

Some 35 com -47.

$$4y=-12$$

Divida ambos os lados por 4.

$$y=-3$$

Substitua -3 por y em 7x+3y=47. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$7x+3\left(-3\right)=47$$

Multiplique 3 vezes -3.

$$7x-9=47$$

Some 9 a ambos os lados da equação.

$$7x=56$$

Divida ambos os lados por 7.

$$x=8$$

O sistema está resolvido.

$$x=8,y=-3$$