Resolver {l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=-3$$

$$y=-2$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$5x-4y=-7$$

Some 4y a ambos os lados da equação.

$$5x=4y-7$$

Divida ambos os lados por 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

Multiplique \frac{1}{5} vezes 4y-7.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

Substitua \frac{4y-7}{5} por x na outra equação, -6x+8y=2.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

Multiplique -6 vezes \frac{4y-7}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

Some -\frac{24y}{5} com 8y.

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

Subtraia \frac{42}{5} de ambos os lados da equação.

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

Divida ambos os lados da equação por \frac{16}{5}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=-2$$

Substitua -2 por y em x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

Multiplique \frac{4}{5} vezes -2.

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

Some -\frac{7}{5} com -\frac{8}{5} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=-3$$

O sistema está resolvido.

$$x=-3,y=-2$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=-3,y=-2$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Para tornar 5x e -6x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por -6 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

Simplifique.

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

Subtraia -30x+40y=10 de -30x+24y=42 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

Some -30x com 30x. Os termos -30x e 30x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$24y-40y=42-10$$

Some 24y com -40y.

$$-16y=42-10$$

Some 42 com -10.

$$-16y=32$$

Divida ambos os lados por -16.

$$y=-2$$

Substitua -2 por y em -6x+8y=2. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

Multiplique 8 vezes -2.

$$-6x-16=2$$

Some 16 a ambos os lados da equação.

$$-6x=18$$

Divida ambos os lados por -6.

$$x=-3$$

O sistema está resolvido.

$$x=-3,y=-2$$