Resolver {r}{2x+3y=10}{-3x+y=18}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { - 3 x + y = 18 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=-4$$

$$y=6$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$2x+3y=10$$

Subtraia 3y de ambos os lados da equação.

$$2x=-3y+10$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Multiplique \frac{1}{2} vezes -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Substitua -\frac{3y}{2}+5 por x na outra equação, -3x+y=18.

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+y=18$$

Multiplique -3 vezes -\frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y-15+y=18$$

Some \frac{9y}{2} com y.

$$\frac{11}{2}y-15=18$$

Some 15 a ambos os lados da equação.

$$\frac{11}{2}y=33$$

Divida ambos os lados da equação por \frac{11}{2}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=6$$

Substitua 6 por y em x=-\frac{3}{2}y+5. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+5$$

Multiplique -\frac{3}{2} vezes 6.

$$x=-9+5$$

Some 5 com -9.

$$x=-4$$

O sistema está resolvido.

$$x=-4,y=6$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{3}{11}\times 18\\\frac{3}{11}\times 10+\frac{2}{11}\times 18\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=-4,y=6$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Para tornar 2x e -3x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por -3 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 2.

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 10,2\left(-3\right)x+2y=2\times 18$$

Simplifique.

$$-6x-9y=-30,-6x+2y=36$$

Subtraia -6x+2y=36 de -6x-9y=-30 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$-6x+6x-9y-2y=-30-36$$

Some -6x com 6x. Os termos -6x e 6x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-9y-2y=-30-36$$

Some -9y com -2y.

$$-11y=-30-36$$

Some -30 com -36.

$$-11y=-66$$

Divida ambos os lados por -11.

$$y=6$$

Substitua 6 por y em -3x+y=18. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$-3x+6=18$$

Subtraia 6 de ambos os lados da equação.

$$-3x=12$$

Divida ambos os lados por -3.

$$x=-4$$

O sistema está resolvido.

$$x=-4,y=6$$