Resolver {l}{y=-x}{y=2x+6}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x } \\ { y = 2 x + 6 } \end{array} \right.$$

Resolva para y, x

$$x=-2$$

$$y=2$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a primeira equação. Adicionar x em ambos os lados.

$$y+x=0$$

Considere a segunda equação. Subtraia 2x de ambos os lados.

$$y-2x=6$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Escolha uma das equações e resolver por y , isolando y no lado esquerdo do sinal de igual.

$$y+x=0$$

Subtraia x de ambos os lados da equação.

$$y=-x$$

Substitua -x por y na outra equação, y-2x=6.

$$-x-2x=6$$

Some -x com -2x.

$$-3x=6$$

Divida ambos os lados por -3.

$$x=-2$$

Substitua -2 por x em y=-x. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$y=-\left(-2\right)$$

Multiplique -1 vezes -2.

$$y=2$$

O sistema está resolvido.

$$y=2,x=-2$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a primeira equação. Adicionar x em ambos os lados.

$$y+x=0$$

Considere a segunda equação. Subtraia 2x de ambos os lados.

$$y-2x=6$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6\\-\frac{1}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos y e x da matriz.

$$y=2,x=-2$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a primeira equação. Adicionar x em ambos os lados.

$$y+x=0$$

Considere a segunda equação. Subtraia 2x de ambos os lados.

$$y-2x=6$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Subtraia y-2x=6 de y+x=0 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$y-y+x+2x=-6$$

Some y com -y. Os termos y e -y são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$x+2x=-6$$

Some x com 2x.

$$3x=-6$$

Divida ambos os lados por 3.

$$x=-2$$

Substitua -2 por x em y-2x=6. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$y-2\left(-2\right)=6$$

Multiplique -2 vezes -2.

$$y+4=6$$

Subtraia 4 de ambos os lados da equação.

$$y=2$$

O sistema está resolvido.

$$y=2,x=-2$$