Resolver {l}{x-3=y}{37-3x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { 37 - 3 x = y } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=10$$

$$y=7$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a primeira equação. Subtraia y de ambos os lados.

$$x-3-y=0$$

Adicionar 3 em ambos os lados. Qualquer valor mais zero dá o valor inicial.

$$x-y=3$$

Considere a segunda equação. Subtraia y de ambos os lados.

$$37-3x-y=0$$

Subtraia 37 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$-3x-y=-37$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$x-y=3$$

Some y a ambos os lados da equação.

$$x=y+3$$

Substitua y+3 por x na outra equação, -3x-y=-37.

$$-3\left(y+3\right)-y=-37$$

Multiplique -3 vezes y+3.

$$-3y-9-y=-37$$

Some -3y com -y.

$$-4y-9=-37$$

Some 9 a ambos os lados da equação.

$$-4y=-28$$

Divida ambos os lados por -4.

$$y=7$$

Substitua 7 por y em x=y+3. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=7+3$$

Some 3 com 7.

$$x=10$$

O sistema está resolvido.

$$x=10,y=7$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a primeira equação. Subtraia y de ambos os lados.

$$x-3-y=0$$

Adicionar 3 em ambos os lados. Qualquer valor mais zero dá o valor inicial.

$$x-y=3$$

Considere a segunda equação. Subtraia y de ambos os lados.

$$37-3x-y=0$$

Subtraia 37 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$-3x-y=-37$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\\-\frac{3}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=10,y=7$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a primeira equação. Subtraia y de ambos os lados.

$$x-3-y=0$$

Adicionar 3 em ambos os lados. Qualquer valor mais zero dá o valor inicial.

$$x-y=3$$

Considere a segunda equação. Subtraia y de ambos os lados.

$$37-3x-y=0$$

Subtraia 37 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$-3x-y=-37$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Subtraia -3x-y=-37 de x-y=3 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$x+3x-y+y=3+37$$

Some -y com y. Os termos -y e y são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$x+3x=3+37$$

Some x com 3x.

$$4x=3+37$$

Some 3 com 37.

$$4x=40$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x=10$$

Substitua 10 por x em -3x-y=-37. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$-3\times 10-y=-37$$

Multiplique -3 vezes 10.

$$-30-y=-37$$

Some 30 a ambos os lados da equação.

$$-y=-7$$

Divida ambos os lados por -1.

$$y=7$$

O sistema está resolvido.

$$x=10,y=7$$