Resolver {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a segunda equação. Subtraia 3y de ambos os lados.

$$x+36-3y=0$$

Subtraia 36 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$x-3y=-36$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$x+y=90$$

Subtraia y de ambos os lados da equação.

$$x=-y+90$$

Substitua -y+90 por x na outra equação, x-3y=-36.

$$-y+90-3y=-36$$

Some -y com -3y.

$$-4y+90=-36$$

Subtraia 90 de ambos os lados da equação.

$$-4y=-126$$

Divida ambos os lados por -4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Substitua \frac{63}{2} por y em x=-y+90. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

Some 90 com -\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a segunda equação. Subtraia 3y de ambos os lados.

$$x+36-3y=0$$

Subtraia 36 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$x-3y=-36$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a segunda equação. Subtraia 3y de ambos os lados.

$$x+36-3y=0$$

Subtraia 36 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$x-3y=-36$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Subtraia x-3y=-36 de x+y=90 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$x-x+y+3y=90+36$$

Some x com -x. Os termos x e -x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$y+3y=90+36$$

Some y com 3y.

$$4y=90+36$$

Some 90 com 36.

$$4y=126$$

Divida ambos os lados por 4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Substitua \frac{63}{2} por y em x-3y=-36. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

Multiplique -3 vezes \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

Some \frac{189}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{117}{2}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$