Resolver {l}{x+y=1}{3x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 1 } \\ { 3 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$x+y=1$$

Subtraia y de ambos os lados da equação.

$$x=-y+1$$

Substitua -y+1 por x na outra equação, 3x+y=5.

$$3\left(-y+1\right)+y=5$$

Multiplique 3 vezes -y+1.

$$-3y+3+y=5$$

Some -3y com y.

$$-2y+3=5$$

Subtraia 3 de ambos os lados da equação.

$$-2y=2$$

Divida ambos os lados por -2.

$$y=-1$$

Substitua -1 por y em x=-y+1. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\left(-1\right)+1$$

Multiplique -1 vezes -1.

$$x=1+1$$

Some 1 com 1.

$$x=2$$

O sistema está resolvido.

$$x=2,y=-1$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{1}{1-3}\\-\frac{3}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5\\\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=2,y=-1$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Subtraia 3x+y=5 de x+y=1 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$x-3x+y-y=1-5$$

Some y com -y. Os termos y e -y são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$x-3x=1-5$$

Some x com -3x.

$$-2x=1-5$$

Some 1 com -5.

$$-2x=-4$$

Divida ambos os lados por -2.

$$x=2$$

Substitua 2 por x em 3x+y=5. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$3\times 2+y=5$$

Multiplique 3 vezes 2.

$$6+y=5$$

Subtraia 6 de ambos os lados da equação.

$$y=-1$$

O sistema está resolvido.

$$x=2,y=-1$$