Resolver {l}{x+3y=7}{3x+y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 7 } \\ { 3 x + y = 17 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$x+3y=7$$

Subtraia 3y de ambos os lados da equação.

$$x=-3y+7$$

Substitua -3y+7 por x na outra equação, 3x+y=17.

$$3\left(-3y+7\right)+y=17$$

Multiplique 3 vezes -3y+7.

$$-9y+21+y=17$$

Some -9y com y.

$$-8y+21=17$$

Subtraia 21 de ambos os lados da equação.

$$-8y=-4$$

Divida ambos os lados por -8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Substitua \frac{1}{2} por y em x=-3y+7. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-3\times \frac{1}{2}+7$$

Multiplique -3 vezes \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}+7$$

Some 7 com -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{11}{2}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 3}&-\frac{3}{1-3\times 3}\\-\frac{3}{1-3\times 3}&\frac{1}{1-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{8}\times 17\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 17\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Para tornar x e 3x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 3 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 1.

$$3x+3\times 3y=3\times 7,3x+y=17$$

Simplifique.

$$3x+9y=21,3x+y=17$$

Subtraia 3x+y=17 de 3x+9y=21 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$3x-3x+9y-y=21-17$$

Some 3x com -3x. Os termos 3x e -3x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$9y-y=21-17$$

Some 9y com -y.

$$8y=21-17$$

Some 21 com -17.

$$8y=4$$

Divida ambos os lados por 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Substitua \frac{1}{2} por y em 3x+y=17. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$3x+\frac{1}{2}=17$$

Subtraia \frac{1}{2} de ambos os lados da equação.

$$3x=\frac{33}{2}$$

Divida ambos os lados por 3.

$$x=\frac{11}{2}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$