Resolver {l}{x+15=y}{4x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 15 = y } \\ { 4 x = y } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=5$$

$$y=20$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a primeira equação. Subtraia y de ambos os lados.

$$x+15-y=0$$

Subtraia 15 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$x-y=-15$$

Considere a segunda equação. Subtraia y de ambos os lados.

$$4x-y=0$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$x-y=-15$$

Some y a ambos os lados da equação.

$$x=y-15$$

Substitua y-15 por x na outra equação, 4x-y=0.

$$4\left(y-15\right)-y=0$$

Multiplique 4 vezes y-15.

$$4y-60-y=0$$

Some 4y com -y.

$$3y-60=0$$

Some 60 a ambos os lados da equação.

$$3y=60$$

Divida ambos os lados por 3.

$$y=20$$

Substitua 20 por y em x=y-15. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=20-15$$

Some -15 com 20.

$$x=5$$

O sistema está resolvido.

$$x=5,y=20$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a primeira equação. Subtraia y de ambos os lados.

$$x+15-y=0$$

Subtraia 15 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$x-y=-15$$

Considere a segunda equação. Subtraia y de ambos os lados.

$$4x-y=0$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-15\right)\\-\frac{4}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=5,y=20$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a primeira equação. Subtraia y de ambos os lados.

$$x+15-y=0$$

Subtraia 15 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$x-y=-15$$

Considere a segunda equação. Subtraia y de ambos os lados.

$$4x-y=0$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Subtraia 4x-y=0 de x-y=-15 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$x-4x-y+y=-15$$

Some -y com y. Os termos -y e y são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$x-4x=-15$$

Some x com -4x.

$$-3x=-15$$

Divida ambos os lados por -3.

$$x=5$$

Substitua 5 por x em 4x-y=0. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$4\times 5-y=0$$

Multiplique 4 vezes 5.

$$20-y=0$$

Subtraia 20 de ambos os lados da equação.

$$-y=-20$$

Divida ambos os lados por -1.

$$y=20$$

O sistema está resolvido.

$$x=5,y=20$$