Resolver {l}{800=x+20y}{700=x+15y}

$$\left. \begin{array} { l } { 800 = x + 20 y } \\ { 700 = x + 15 y } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=400$$

$$y=20$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a primeira equação. Troque os lados para que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo.

$$x+20y=800$$

Considere a segunda equação. Troque os lados para que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo.

$$x+15y=700$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$x+20y=800$$

Subtraia 20y de ambos os lados da equação.

$$x=-20y+800$$

Substitua -20y+800 por x na outra equação, x+15y=700.

$$-20y+800+15y=700$$

Some -20y com 15y.

$$-5y+800=700$$

Subtraia 800 de ambos os lados da equação.

$$-5y=-100$$

Divida ambos os lados por -5.

$$y=20$$

Substitua 20 por y em x=-20y+800. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-20\times 20+800$$

Multiplique -20 vezes 20.

$$x=-400+800$$

Some 800 com -400.

$$x=400$$

O sistema está resolvido.

$$x=400,y=20$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a primeira equação. Troque os lados para que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo.

$$x+20y=800$$

Considere a segunda equação. Troque os lados para que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo.

$$x+15y=700$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{15-20}&-\frac{20}{15-20}\\-\frac{1}{15-20}&\frac{1}{15-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 800+4\times 700\\\frac{1}{5}\times 800-\frac{1}{5}\times 700\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\20\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=400,y=20$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a primeira equação. Troque os lados para que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo.

$$x+20y=800$$

Considere a segunda equação. Troque os lados para que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo.

$$x+15y=700$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Subtraia x+15y=700 de x+20y=800 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$x-x+20y-15y=800-700$$

Some x com -x. Os termos x e -x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$20y-15y=800-700$$

Some 20y com -15y.

$$5y=800-700$$

Some 800 com -700.

$$5y=100$$

Divida ambos os lados por 5.

$$y=20$$

Substitua 20 por y em x+15y=700. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x+15\times 20=700$$

Multiplique 15 vezes 20.

$$x+300=700$$

Subtraia 300 de ambos os lados da equação.

$$x=400$$

O sistema está resolvido.

$$x=400,y=20$$