Resolver {l}{5x+y=9}{10x-7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9 } \\ { 10 x - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$5x+y=9$$

Subtraia y de ambos os lados da equação.

$$5x=-y+9$$

Divida ambos os lados por 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9\right)$$

Multiplique \frac{1}{5} vezes -y+9.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

Substitua \frac{-y+9}{5} por x na outra equação, 10x-7y=-18.

$$10\left(-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)-7y=-18$$

Multiplique 10 vezes \frac{-y+9}{5}.

$$-2y+18-7y=-18$$

Some -2y com -7y.

$$-9y+18=-18$$

Subtraia 18 de ambos os lados da equação.

$$-9y=-36$$

Divida ambos os lados por -9.

$$y=4$$

Substitua 4 por y em x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{9}{5}$$

Multiplique -\frac{1}{5} vezes 4.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

Some \frac{9}{5} com -\frac{4}{5} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=1$$

O sistema está resolvido.

$$x=1,y=4$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5\left(-7\right)-10}&-\frac{1}{5\left(-7\right)-10}\\-\frac{10}{5\left(-7\right)-10}&\frac{5}{5\left(-7\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}&\frac{1}{45}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}\times 9+\frac{1}{45}\left(-18\right)\\\frac{2}{9}\times 9-\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=1,y=4$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Para tornar 5x e 10x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 10 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 5.

$$10\times 5x+10y=10\times 9,5\times 10x+5\left(-7\right)y=5\left(-18\right)$$

Simplifique.

$$50x+10y=90,50x-35y=-90$$

Subtraia 50x-35y=-90 de 50x+10y=90 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$50x-50x+10y+35y=90+90$$

Some 50x com -50x. Os termos 50x e -50x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$10y+35y=90+90$$

Some 10y com 35y.

$$45y=90+90$$

Some 90 com 90.

$$45y=180$$

Divida ambos os lados por 45.

$$y=4$$

Substitua 4 por y em 10x-7y=-18. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$10x-7\times 4=-18$$

Multiplique -7 vezes 4.

$$10x-28=-18$$

Some 28 a ambos os lados da equação.

$$10x=10$$

Divida ambos os lados por 10.

$$x=1$$

O sistema está resolvido.

$$x=1,y=4$$