Resolver {l}{4x+y=8}{x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 8 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$4x+y=8$$

Subtraia y de ambos os lados da equação.

$$4x=-y+8$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+8\right)$$

Multiplique \frac{1}{4} vezes -y+8.

$$x=-\frac{1}{4}y+2$$

Substitua -\frac{y}{4}+2 por x na outra equação, x-y=2.

$$-\frac{1}{4}y+2-y=2$$

Some -\frac{y}{4} com -y.

$$-\frac{5}{4}y+2=2$$

Subtraia 2 de ambos os lados da equação.

$$-\frac{5}{4}y=0$$

Divida ambos os lados da equação por -\frac{5}{4}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=0$$

Substitua 0 por y em x=-\frac{1}{4}y+2. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=2$$

O sistema está resolvido.

$$x=2,y=0$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&\frac{4}{4\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{4}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=2,y=0$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Para tornar 4x e x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 1 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 4.

$$4x+y=8,4x+4\left(-1\right)y=4\times 2$$

Simplifique.

$$4x+y=8,4x-4y=8$$

Subtraia 4x-4y=8 de 4x+y=8 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$4x-4x+y+4y=8-8$$

Some 4x com -4x. Os termos 4x e -4x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$y+4y=8-8$$

Some y com 4y.

$$5y=8-8$$

Some 8 com -8.

$$5y=0$$

Divida ambos os lados por 5.

$$y=0$$

Substitua 0 por y em x-y=2. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=2$$

O sistema está resolvido.

$$x=2,y=0$$