Resolver {l}{4x+y=7}{3x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$4x+y=7$$

Subtraia y de ambos os lados da equação.

$$4x=-y+7$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+7\right)$$

Multiplique \frac{1}{4} vezes -y+7.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}$$

Substitua \frac{-y+7}{4} por x na outra equação, 3x+2y=9.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}\right)+2y=9$$

Multiplique 3 vezes \frac{-y+7}{4}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+2y=9$$

Some -\frac{3y}{4} com 2y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

Subtraia \frac{21}{4} de ambos os lados da equação.

$$\frac{5}{4}y=\frac{15}{4}$$

Divida ambos os lados da equação por \frac{5}{4}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=3$$

Substitua 3 por y em x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{7}{4}$$

Multiplique -\frac{1}{4} vezes 3.

$$x=\frac{-3+7}{4}$$

Some \frac{7}{4} com -\frac{3}{4} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=1$$

O sistema está resolvido.

$$x=1,y=3$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-3}&-\frac{1}{4\times 2-3}\\-\frac{3}{4\times 2-3}&\frac{4}{4\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 9\\-\frac{3}{5}\times 7+\frac{4}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=1,y=3$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Para tornar 4x e 3x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 3 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 4.

$$3\times 4x+3y=3\times 7,4\times 3x+4\times 2y=4\times 9$$

Simplifique.

$$12x+3y=21,12x+8y=36$$

Subtraia 12x+8y=36 de 12x+3y=21 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$12x-12x+3y-8y=21-36$$

Some 12x com -12x. Os termos 12x e -12x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$3y-8y=21-36$$

Some 3y com -8y.

$$-5y=21-36$$

Some 21 com -36.

$$-5y=-15$$

Divida ambos os lados por -5.

$$y=3$$

Substitua 3 por y em 3x+2y=9. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$3x+2\times 3=9$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$3x+6=9$$

Subtraia 6 de ambos os lados da equação.

$$3x=3$$

Divida ambos os lados por 3.

$$x=1$$

O sistema está resolvido.

$$x=1,y=3$$