Resolver {l}{4x+2y=2}{x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 2 } \\ { x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=-3$$

$$y=7$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$4x+2y=2$$

Subtraia 2y de ambos os lados da equação.

$$4x=-2y+2$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+2\right)$$

Multiplique \frac{1}{4} vezes -2y+2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Substitua \frac{-y+1}{2} por x na outra equação, x+y=4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

Some -\frac{y}{2} com y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

Subtraia \frac{1}{2} de ambos os lados da equação.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Multiplique ambos os lados por 2.

$$y=7$$

Substitua 7 por y em x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

Multiplique -\frac{1}{2} vezes 7.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

Some \frac{1}{2} com -\frac{7}{2} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=-3$$

O sistema está resolvido.

$$x=-3,y=7$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-4\\-\frac{1}{2}\times 2+2\times 4\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=-3,y=7$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Para tornar 4x e x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 1 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 4.

$$4x+2y=2,4x+4y=4\times 4$$

Simplifique.

$$4x+2y=2,4x+4y=16$$

Subtraia 4x+4y=16 de 4x+2y=2 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$4x-4x+2y-4y=2-16$$

Some 4x com -4x. Os termos 4x e -4x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$2y-4y=2-16$$

Some 2y com -4y.

$$-2y=2-16$$

Some 2 com -16.

$$-2y=-14$$

Divida ambos os lados por -2.

$$y=7$$

Substitua 7 por y em x+y=4. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x+7=4$$

Subtraia 7 de ambos os lados da equação.

$$x=-3$$

O sistema está resolvido.

$$x=-3,y=7$$