Resolver {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

Resolva para x_1, x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Escolha uma das equações e resolver por x_{1} , isolando x_{1} no lado esquerdo do sinal de igual.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Subtraia 3x_{2} de ambos os lados da equação.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

Multiplique \frac{1}{2} vezes -3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Substitua \frac{-3x_{2}+7}{2} por x_{1} na outra equação, 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

Multiplique 4 vezes \frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

Some -6x_{2} com -4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Subtraia 14 de ambos os lados da equação.

$$-10x_{2}=-20$$

Divida ambos os lados por -10.

$$x_{2}=2$$

Substitua 2 por x_{2} em x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x_{1}.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

Multiplique -\frac{3}{2} vezes 2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

Some \frac{7}{2} com -3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

O sistema está resolvido.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x_{1} e x_{2} da matriz.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Para tornar 2x_{1} e 4x_{1} iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 4 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 2.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Simplifique.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Subtraia 8x_{1}-8x_{2}=-12 de 8x_{1}+12x_{2}=28 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Some 8x_{1} com -8x_{1}. Os termos 8x_{1} e -8x_{1} são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Some 12x_{2} com 8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

Some 28 com 12.

$$20x_{2}=40$$

Divida ambos os lados por 20.

$$x_{2}=2$$

Substitua 2 por x_{2} em 4x_{1}-4x_{2}=-6. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x_{1}.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$4x_{1}-8=-6$$

Some 8 a ambos os lados da equação.

$$4x_{1}=2$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

O sistema está resolvido.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$