Resolver {l}{2x+y=-6}{y=7x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = 7 x + 3 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a segunda equação. Subtraia 7x de ambos os lados.

$$y-7x=3$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$2x+y=-6$$

Subtraia y de ambos os lados da equação.

$$2x=-y-6$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

Multiplique \frac{1}{2} vezes -y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

Substitua -\frac{y}{2}-3 por x na outra equação, -7x+y=3.

$$-7\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

Multiplique -7 vezes -\frac{y}{2}-3.

$$\frac{7}{2}y+21+y=3$$

Some \frac{7y}{2} com y.

$$\frac{9}{2}y+21=3$$

Subtraia 21 de ambos os lados da equação.

$$\frac{9}{2}y=-18$$

Divida ambos os lados da equação por \frac{9}{2}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=-4$$

Substitua -4 por y em x=-\frac{1}{2}y-3. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)-3$$

Multiplique -\frac{1}{2} vezes -4.

$$x=2-3$$

Some -3 com 2.

$$x=-1$$

O sistema está resolvido.

$$x=-1,y=-4$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a segunda equação. Subtraia 7x de ambos os lados.

$$y-7x=3$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\right)}&-\frac{1}{2-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{2-\left(-7\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{7}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 3\\\frac{7}{9}\left(-6\right)+\frac{2}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=-1,y=-4$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a segunda equação. Subtraia 7x de ambos os lados.

$$y-7x=3$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Subtraia -7x+y=3 de 2x+y=-6 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$2x+7x+y-y=-6-3$$

Some y com -y. Os termos y e -y são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$2x+7x=-6-3$$

Some 2x com 7x.

$$9x=-6-3$$

Some -6 com -3.

$$9x=-9$$

Divida ambos os lados por 9.

$$x=-1$$

Substitua -1 por x em -7x+y=3. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$-7\left(-1\right)+y=3$$

Multiplique -7 vezes -1.

$$7+y=3$$

Subtraia 7 de ambos os lados da equação.

$$y=-4$$

O sistema está resolvido.

$$x=-1,y=-4$$