Resolver {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$2x+5y=259$$

Subtraia 5y de ambos os lados da equação.

$$2x=-5y+259$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

Multiplique \frac{1}{2} vezes -5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Substitua \frac{-5y+259}{2} por x na outra equação, 199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

Multiplique 199 vezes \frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

Some -\frac{995y}{2} com -2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Subtraia \frac{51541}{2} de ambos os lados da equação.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Divida ambos os lados da equação por -\frac{999}{2}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Substitua \frac{16429}{333} por y em x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Multiplique -\frac{5}{2} vezes \frac{16429}{333} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Some \frac{259}{2} com -\frac{82145}{666} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=\frac{2051}{333}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Para tornar 2x e 199x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 199 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 2.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Simplifique.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

Subtraia 398x-4y=2254 de 398x+995y=51541 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

Some 398x com -398x. Os termos 398x e -398x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$995y+4y=51541-2254$$

Some 995y com 4y.

$$999y=51541-2254$$

Some 51541 com -2254.

$$999y=49287$$

Divida ambos os lados por 999.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Substitua \frac{16429}{333} por y em 199x-2y=1127. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

Multiplique -2 vezes \frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Some \frac{32858}{333} a ambos os lados da equação.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Divida ambos os lados por 199.

$$x=\frac{2051}{333}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$