Resolver {l}{2x+3y=10}{4x+5y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 4 x + 5 y = 42 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=38$$

$$y=-22$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$2x+3y=10$$

Subtraia 3y de ambos os lados da equação.

$$2x=-3y+10$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Multiplique \frac{1}{2} vezes -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Substitua -\frac{3y}{2}+5 por x na outra equação, 4x+5y=42.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+5y=42$$

Multiplique 4 vezes -\frac{3y}{2}+5.

$$-6y+20+5y=42$$

Some -6y com 5y.

$$-y+20=42$$

Subtraia 20 de ambos os lados da equação.

$$-y=22$$

Divida ambos os lados por -1.

$$y=-22$$

Substitua -22 por y em x=-\frac{3}{2}y+5. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-22\right)+5$$

Multiplique -\frac{3}{2} vezes -22.

$$x=33+5$$

Some 5 com 33.

$$x=38$$

O sistema está resolvido.

$$x=38,y=-22$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 10+\frac{3}{2}\times 42\\2\times 10-42\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-22\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=38,y=-22$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Para tornar 2x e 4x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 4 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\times 5y=2\times 42$$

Simplifique.

$$8x+12y=40,8x+10y=84$$

Subtraia 8x+10y=84 de 8x+12y=40 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$8x-8x+12y-10y=40-84$$

Some 8x com -8x. Os termos 8x e -8x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$12y-10y=40-84$$

Some 12y com -10y.

$$2y=40-84$$

Some 40 com -84.

$$2y=-44$$

Divida ambos os lados por 2.

$$y=-22$$

Substitua -22 por y em 4x+5y=42. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$4x+5\left(-22\right)=42$$

Multiplique 5 vezes -22.

$$4x-110=42$$

Some 110 a ambos os lados da equação.

$$4x=152$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x=38$$

O sistema está resolvido.

$$x=38,y=-22$$