Resolver {l}{13x+20y=48}{20x+93y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x + 20 y = 48 } \\ { 20 x + 93 y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x = \frac{4444}{809} = 5\frac{399}{809} \approx 5.493201483$$

$$y = -\frac{947}{809} = -1\frac{138}{809} \approx -1.170580964$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$13x+20y=48$$

Subtraia 20y de ambos os lados da equação.

$$13x=-20y+48$$

Divida ambos os lados por 13.

$$x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)$$

Multiplique \frac{1}{13} vezes -20y+48.

$$x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}$$

Substitua \frac{-20y+48}{13} por x na outra equação, 20x+93y=1.

$$20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1$$

Multiplique 20 vezes \frac{-20y+48}{13}.

$$-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1$$

Some -\frac{400y}{13} com 93y.

$$\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1$$

Subtraia \frac{960}{13} de ambos os lados da equação.

$$\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}$$

Divida ambos os lados da equação por \frac{809}{13}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=-\frac{947}{809}$$

Substitua -\frac{947}{809} por y em x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}$$

Multiplique -\frac{20}{13} vezes -\frac{947}{809} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}$$

Some \frac{48}{13} com \frac{18940}{10517} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=\frac{4444}{809}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Para tornar 13x e 20x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 20 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 13.

$$20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13$$

Simplifique.

$$260x+400y=960,260x+1209y=13$$

Subtraia 260x+1209y=13 de 260x+400y=960 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$260x-260x+400y-1209y=960-13$$

Some 260x com -260x. Os termos 260x e -260x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$400y-1209y=960-13$$

Some 400y com -1209y.

$$-809y=960-13$$

Some 960 com -13.

$$-809y=947$$

Divida ambos os lados por -809.

$$y=-\frac{947}{809}$$

Substitua -\frac{947}{809} por y em 20x+93y=1. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$20x+93\left(-\frac{947}{809}\right)=1$$

Multiplique 93 vezes -\frac{947}{809}.

$$20x-\frac{88071}{809}=1$$

Some \frac{88071}{809} a ambos os lados da equação.

$$20x=\frac{88880}{809}$$

Divida ambos os lados por 20.

$$x=\frac{4444}{809}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$