Resolver {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$12x+4y=6$$

Subtraia 4y de ambos os lados da equação.

$$12x=-4y+6$$

Divida ambos os lados por 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

Multiplique \frac{1}{12} vezes -4y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

Substitua -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} por x na outra equação, 9x+16y=8.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

Multiplique 9 vezes -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

Some -3y com 16y.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

Subtraia \frac{9}{2} de ambos os lados da equação.

$$13y=\frac{7}{2}$$

Divida ambos os lados por 13.

$$y=\frac{7}{26}$$

Substitua \frac{7}{26} por y em x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

Multiplique -\frac{1}{3} vezes \frac{7}{26} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

Some \frac{1}{2} com -\frac{7}{78} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=\frac{16}{39}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Para tornar 12x e 9x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 9 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 12.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

Simplifique.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

Subtraia 108x+192y=96 de 108x+36y=54 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

Some 108x com -108x. Os termos 108x e -108x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$36y-192y=54-96$$

Some 36y com -192y.

$$-156y=54-96$$

Some 54 com -96.

$$-156y=-42$$

Divida ambos os lados por -156.

$$y=\frac{7}{26}$$

Substitua \frac{7}{26} por y em 9x+16y=8. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

Multiplique 16 vezes \frac{7}{26}.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

Subtraia \frac{56}{13} de ambos os lados da equação.

$$9x=\frac{48}{13}$$

Divida ambos os lados por 9.

$$x=\frac{16}{39}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$