Resolver {l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

Resolva para y, x

$$x=4$$

$$y=3$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a primeira equação. A variável x não pode ser igual a \frac{4}{3}, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 2\left(3x-4\right), o mínimo múltiplo comum de 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2 por y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Subtraia 3x de ambos os lados.

$$2y+2-3x=-4$$

Subtraia 2 de ambos os lados.

$$2y-3x=-4-2$$

Subtraia 2 de -4 para obter -6.

$$2y-3x=-6$$

Considere a segunda equação. A variável x não pode ser igual a -\frac{11}{3}, pois a divisão por zero não está definida. Multiplique ambos os lados da equação por 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Subtraia 3x de ambos os lados.

$$5x+y-3x=11$$

Combine 5x e -3x para obter 2x.

$$2x+y=11$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Escolha uma das equações e resolver por y , isolando y no lado esquerdo do sinal de igual.

$$2y-3x=-6$$

Some 3x a ambos os lados da equação.

$$2y=3x-6$$

Divida ambos os lados por 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Multiplique \frac{1}{2} vezes -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Substitua \frac{3x}{2}-3 por y na outra equação, y+2x=11.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

Some \frac{3x}{2} com 2x.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

Some 3 a ambos os lados da equação.

$$\frac{7}{2}x=14$$

Divida ambos os lados da equação por \frac{7}{2}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$x=4$$

Substitua 4 por x em y=\frac{3}{2}x-3. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

Multiplique \frac{3}{2} vezes 4.

$$y=6-3$$

Some -3 com 6.

$$y=3$$

O sistema está resolvido.

$$y=3,x=4$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a primeira equação. A variável x não pode ser igual a \frac{4}{3}, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 2\left(3x-4\right), o mínimo múltiplo comum de 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2 por y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Subtraia 3x de ambos os lados.

$$2y+2-3x=-4$$

Subtraia 2 de ambos os lados.

$$2y-3x=-4-2$$

Subtraia 2 de -4 para obter -6.

$$2y-3x=-6$$

Considere a segunda equação. A variável x não pode ser igual a -\frac{11}{3}, pois a divisão por zero não está definida. Multiplique ambos os lados da equação por 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Subtraia 3x de ambos os lados.

$$5x+y-3x=11$$

Combine 5x e -3x para obter 2x.

$$2x+y=11$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos y e x da matriz.

$$y=3,x=4$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a primeira equação. A variável x não pode ser igual a \frac{4}{3}, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 2\left(3x-4\right), o mínimo múltiplo comum de 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2 por y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Subtraia 3x de ambos os lados.

$$2y+2-3x=-4$$

Subtraia 2 de ambos os lados.

$$2y-3x=-4-2$$

Subtraia 2 de -4 para obter -6.

$$2y-3x=-6$$

Considere a segunda equação. A variável x não pode ser igual a -\frac{11}{3}, pois a divisão por zero não está definida. Multiplique ambos os lados da equação por 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Subtraia 3x de ambos os lados.

$$5x+y-3x=11$$

Combine 5x e -3x para obter 2x.

$$2x+y=11$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Para tornar 2y e y iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 1 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 2.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

Simplifique.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

Subtraia 2y+4x=22 de 2y-3x=-6 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

Some 2y com -2y. Os termos 2y e -2y são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-3x-4x=-6-22$$

Some -3x com -4x.

$$-7x=-6-22$$

Some -6 com -22.

$$-7x=-28$$

Divida ambos os lados por -7.

$$x=4$$

Substitua 4 por x em y+2x=11. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$y+2\times 4=11$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$y+8=11$$

Subtraia 8 de ambos os lados da equação.

$$y=3$$

O sistema está resolvido.

$$y=3,x=4$$