Resolva para x, y
x=15
y=-6
Gráfico
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2x-3y=48
Considere a primeira equação. Multiplicar ambos os lados da equação por 6, o mínimo múltiplo comum de 3,2.
3x+5y=15
Considere a segunda equação. Multiplicar ambos os lados da equação por 15, o mínimo múltiplo comum de 5,3.
2x-3y=48,3x+5y=15
Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.
2x-3y=48
Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.
2x=3y+48
Some 3y a ambos os lados da equação.
x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)
Divida ambos os lados por 2.
x=\frac{3}{2}y+24
Multiplique \frac{1}{2} vezes 48+3y.
3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15
Substitua \frac{3y}{2}+24 por x na outra equação, 3x+5y=15.
\frac{9}{2}y+72+5y=15
Multiplique 3 vezes \frac{3y}{2}+24.
\frac{19}{2}y+72=15
Some \frac{9y}{2} com 5y.
\frac{19}{2}y=-57
Subtraia 72 de ambos os lados da equação.
y=-6
Divida ambos os lados da equação por \frac{19}{2}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.
x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24
Substitua -6 por y em x=\frac{3}{2}y+24. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.
x=-9+24
Multiplique \frac{3}{2} vezes -6.
x=15
Some 24 com -9.
x=15,y=-6
O sistema está resolvido.
2x-3y=48
Considere a primeira equação. Multiplicar ambos os lados da equação por 6, o mínimo múltiplo comum de 3,2.
3x+5y=15
Considere a segunda equação. Multiplicar ambos os lados da equação por 15, o mínimo múltiplo comum de 5,3.
2x-3y=48,3x+5y=15
Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.
\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Escreva as equações sob forma de matriz.
inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Efetue o cálculo aritmético.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)
Multiplique as matrizes.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)
Efetue o cálculo aritmético.
x=15,y=-6
Extraia os elementos x e y da matriz.
2x-3y=48
Considere a primeira equação. Multiplicar ambos os lados da equação por 6, o mínimo múltiplo comum de 3,2.
3x+5y=15
Considere a segunda equação. Multiplicar ambos os lados da equação por 15, o mínimo múltiplo comum de 5,3.
2x-3y=48,3x+5y=15
Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.
3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15
Para tornar 2x e 3x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 3 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 2.
6x-9y=144,6x+10y=30
Simplifique.
6x-6x-9y-10y=144-30
Subtraia 6x+10y=30 de 6x-9y=144 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.
-9y-10y=144-30
Some 6x com -6x. Os termos 6x e -6x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.
-19y=144-30
Some -9y com -10y.
-19y=114
Some 144 com -30.
y=-6
Divida ambos os lados por -19.
3x+5\left(-6\right)=15
Substitua -6 por y em 3x+5y=15. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.
3x-30=15
Multiplique 5 vezes -6.
3x=45
Some 30 a ambos os lados da equação.
x=15
Divida ambos os lados por 3.
x=15,y=-6
O sistema está resolvido.
Exemplos
Equação quadrática
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometria
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Equação linear
y = 3x + 4
Aritmética
699 * 533
Matriz
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Equação simultânea
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Diferenciação
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integração
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Limites
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}