Resolver {c}{x-3=y}{4x=37+3y}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 = y } \\ { 4 x = 37 + 3 y } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=28$$

$$y=25$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a primeira equação. Subtraia y de ambos os lados.

$$x-3-y=0$$

Adicionar 3 em ambos os lados. Qualquer valor mais zero dá o valor inicial.

$$x-y=3$$

Considere a segunda equação. Subtraia 3y de ambos os lados.

$$4x-3y=37$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$x-y=3$$

Some y a ambos os lados da equação.

$$x=y+3$$

Substitua y+3 por x na outra equação, 4x-3y=37.

$$4\left(y+3\right)-3y=37$$

Multiplique 4 vezes y+3.

$$4y+12-3y=37$$

Some 4y com -3y.

$$y+12=37$$

Subtraia 12 de ambos os lados da equação.

$$y=25$$

Substitua 25 por y em x=y+3. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=25+3$$

Some 3 com 25.

$$x=28$$

O sistema está resolvido.

$$x=28,y=25$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a primeira equação. Subtraia y de ambos os lados.

$$x-3-y=0$$

Adicionar 3 em ambos os lados. Qualquer valor mais zero dá o valor inicial.

$$x-y=3$$

Considere a segunda equação. Subtraia 3y de ambos os lados.

$$4x-3y=37$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-3-\left(-4\right)}&\frac{1}{-3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 3+37\\-4\times 3+37\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\25\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=28,y=25$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a primeira equação. Subtraia y de ambos os lados.

$$x-3-y=0$$

Adicionar 3 em ambos os lados. Qualquer valor mais zero dá o valor inicial.

$$x-y=3$$

Considere a segunda equação. Subtraia 3y de ambos os lados.

$$4x-3y=37$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Para tornar x e 4x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 4 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 1.

$$4x+4\left(-1\right)y=4\times 3,4x-3y=37$$

Simplifique.

$$4x-4y=12,4x-3y=37$$

Subtraia 4x-3y=37 de 4x-4y=12 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$4x-4x-4y+3y=12-37$$

Some 4x com -4x. Os termos 4x e -4x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-4y+3y=12-37$$

Some -4y com 3y.

$$-y=12-37$$

Some 12 com -37.

$$-y=-25$$

Divida ambos os lados por -1.

$$y=25$$

Substitua 25 por y em 4x-3y=37. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$4x-3\times 25=37$$

Multiplique -3 vezes 25.

$$4x-75=37$$

Some 75 a ambos os lados da equação.

$$4x=112$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x=28$$

O sistema está resolvido.

$$x=28,y=25$$