Resolver {c}{x+y=9}{4x+5y=39}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 9 } \\ { 4 x + 5 y = 39 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=6$$

$$y=3$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$x+y=9$$

Subtraia y de ambos os lados da equação.

$$x=-y+9$$

Substitua -y+9 por x na outra equação, 4x+5y=39.

$$4\left(-y+9\right)+5y=39$$

Multiplique 4 vezes -y+9.

$$-4y+36+5y=39$$

Some -4y com 5y.

$$y+36=39$$

Subtraia 36 de ambos os lados da equação.

$$y=3$$

Substitua 3 por y em x=-y+9. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-3+9$$

Some 9 com -3.

$$x=6$$

O sistema está resolvido.

$$x=6,y=3$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4}&-\frac{1}{5-4}\\-\frac{4}{5-4}&\frac{1}{5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 9-39\\-4\times 9+39\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=6,y=3$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Para tornar x e 4x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 4 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 1.

$$4x+4y=4\times 9,4x+5y=39$$

Simplifique.

$$4x+4y=36,4x+5y=39$$

Subtraia 4x+5y=39 de 4x+4y=36 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$4x-4x+4y-5y=36-39$$

Some 4x com -4x. Os termos 4x e -4x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$4y-5y=36-39$$

Some 4y com -5y.

$$-y=36-39$$

Some 36 com -39.

$$-y=-3$$

Divida ambos os lados por -1.

$$y=3$$

Substitua 3 por y em 4x+5y=39. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$4x+5\times 3=39$$

Multiplique 5 vezes 3.

$$4x+15=39$$

Subtraia 15 de ambos os lados da equação.

$$4x=24$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x=6$$

O sistema está resolvido.

$$x=6,y=3$$