Resolver {c}{x+y=21}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 21 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=11.5$$

$$y=9.5$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$x+y=21$$

Subtraia y de ambos os lados da equação.

$$x=-y+21$$

Substitua -y+21 por x na outra equação, 0.25x+0.05y=3.35.

$$0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35$$

Multiplique 0.25 vezes -y+21.

$$-0.25y+5.25+0.05y=3.35$$

Some -\frac{y}{4} com \frac{y}{20}.

$$-0.2y+5.25=3.35$$

Subtraia 5.25 de ambos os lados da equação.

$$-0.2y=-1.9$$

Multiplique ambos os lados por -5.

$$y=9.5$$

Substitua 9.5 por y em x=-y+21. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-9.5+21$$

Some 21 com -9.5.

$$x=11.5$$

O sistema está resolvido.

$$x=11.5,y=9.5$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=11.5,y=9.5$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Para tornar x e \frac{x}{4} iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 0.25 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 1.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35$$

Simplifique.

$$0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35$$

Subtraia 0.25x+0.05y=3.35 de 0.25x+0.25y=5.25 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Some \frac{x}{4} com -\frac{x}{4}. Os termos \frac{x}{4} e -\frac{x}{4} são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Some \frac{y}{4} com -\frac{y}{20}.

$$0.2y=5.25-3.35$$

Some 5.25 com -3.35 ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$0.2y=1.9$$

Multiplique ambos os lados por 5.

$$y=9.5$$

Substitua 9.5 por y em 0.25x+0.05y=3.35. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$0.25x+0.05\times 9.5=3.35$$

Multiplique 0.05 vezes 9.5 ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$0.25x+0.475=3.35$$

Subtraia 0.475 de ambos os lados da equação.

$$0.25x=2.875$$

Multiplique ambos os lados por 4.

$$x=11.5$$

O sistema está resolvido.

$$x=11.5,y=9.5$$