Resolver {l}{x-y=12}{x+y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 12 } \\ { x + y = 3 } \end{array} \right\}$$

Resolva para x, y

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7,5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x-y=12,x+y=3$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$x-y=12$$

Some y a ambos os lados da equação.

$$x=y+12$$

Substitua y+12 por x na outra equação, x+y=3.

$$y+12+y=3$$

Some y com y.

$$2y+12=3$$

Subtraia 12 de ambos os lados da equação.

$$2y=-9$$

Divida ambos os lados por 2.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Substitua -\frac{9}{2} por y em x=y+12. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{9}{2}+12$$

Some 12 com -\frac{9}{2}.

$$x=\frac{15}{2}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{15}{2},y=-\frac{9}{2}$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x-y=12,x+y=3$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 12+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 12+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2}\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=\frac{15}{2},y=-\frac{9}{2}$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x-y=12,x+y=3$$

Subtraia x+y=3 de x-y=12 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$x-x-y-y=12-3$$

Some x com -x. Os termos x e -x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-y-y=12-3$$

Some -y com -y.

$$-2y=12-3$$

Some 12 com -3.

$$-2y=9$$

Divida ambos os lados por -2.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Substitua -\frac{9}{2} por y em x+y=3. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x-\frac{9}{2}=3$$

Some \frac{9}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{15}{2}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{15}{2},y=-\frac{9}{2}$$