Resolver {l}{x-y=1/4}{3x^2-6=y^2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = \frac { 1 } { 4 } } \\ { 3 x ^ { 2 } - 6 = y ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=\frac{-\sqrt{195}-1}{8}\approx -1.870530005\text{, }y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}\approx -2.120530005$$

$$x=\frac{\sqrt{195}-1}{8}\approx 1.620530005\text{, }y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\approx 1.370530005$$

Passos Para Utilizar a Substituição e a Fórmula Quadrática

Considere a segunda equação. Subtraia y^{2} de ambos os lados.

$$3x^{2}-6-y^{2}=0$$

Adicionar 6 em ambos os lados. Qualquer valor mais zero dá o valor inicial.

$$3x^{2}-y^{2}=6$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x-y=\frac{1}{4},-y^{2}+3x^{2}=6$$

Resolver x-y=\frac{1}{4} para x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$x-y=\frac{1}{4}$$

Subtraia -y de ambos os lados da equação.

$$x=y+\frac{1}{4}$$

Substitua y+\frac{1}{4} por x na outra equação, -y^{2}+3x^{2}=6.

$$-y^{2}+3\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=6$$

Calcule o quadrado de y+\frac{1}{4}.

$$-y^{2}+3\left(y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}\right)=6$$

Multiplique 3 vezes y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}.

$$-y^{2}+3y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

Some -y^{2} com 3y^{2}.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

Subtraia 6 de ambos os lados da equação.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y-\frac{93}{16}=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1+3\times 1^{2} por a, 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 por b e -\frac{93}{16} por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes -1+3\times 1^{2}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-8\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes -\frac{93}{16}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{93}{2}}}{2\times 2}$$

Some \frac{9}{4} com \frac{93}{2} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{195}{4}}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de \frac{195}{4}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes -1+3\times 1^{2}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} quando ± for uma adição. Some -\frac{3}{2} com \frac{\sqrt{195}}{2}.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

Divida \frac{-3+\sqrt{195}}{2} por 4.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia \frac{\sqrt{195}}{2} de -\frac{3}{2}.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

Divida \frac{-3-\sqrt{195}}{2} por 4.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$

Existem duas soluções para y: \frac{-3+\sqrt{195}}{8} e \frac{-3-\sqrt{195}}{8}. Substitua \frac{-3+\sqrt{195}}{8} por y na equação x=y+\frac{1}{4} para encontrar a solução correspondente para x que satisfaz ambas as equações.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

Agora substitua \frac{-3-\sqrt{195}}{8} por y na equação x=y+\frac{1}{4} e resolva para encontrar a solução correspondente para x que satisfaz ambas as equações.

$$x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$