Resolver {l}{x=-y}{2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - y } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Resolva para x, y

$$x=5$$

$$y=-5$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a primeira equação. Adicionar y em ambos os lados.

$$x+y=0$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$x+y=0$$

Subtraia y de ambos os lados da equação.

$$x=-y$$

Substitua -y por x na outra equação, 2x+y=5.

$$2\left(-1\right)y+y=5$$

Multiplique 2 vezes -y.

$$-2y+y=5$$

Some -2y com y.

$$-y=5$$

Divida ambos os lados por -1.

$$y=-5$$

Substitua -5 por y em x=-y. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\left(-5\right)$$

Multiplique -1 vezes -5.

$$x=5$$

O sistema está resolvido.

$$x=5,y=-5$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a primeira equação. Adicionar y em ambos os lados.

$$x+y=0$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=5,y=-5$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a primeira equação. Adicionar y em ambos os lados.

$$x+y=0$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Subtraia 2x+y=5 de x+y=0 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$x-2x+y-y=-5$$

Some y com -y. Os termos y e -y são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$x-2x=-5$$

Some x com -2x.

$$-x=-5$$

Divida ambos os lados por -1.

$$x=5$$

Substitua 5 por x em 2x+y=5. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$2\times 5+y=5$$

Multiplique 2 vezes 5.

$$10+y=5$$

Subtraia 10 de ambos os lados da equação.

$$y=-5$$

O sistema está resolvido.

$$x=5,y=-5$$