Resolver {l}{x+2y=7}{3x-2y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = - 3 } \end{array} \right\}$$

Resolva para x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$x+2y=7$$

Subtraia 2y de ambos os lados da equação.

$$x=-2y+7$$

Substitua -2y+7 por x na outra equação, 3x-2y=-3.

$$3\left(-2y+7\right)-2y=-3$$

Multiplique 3 vezes -2y+7.

$$-6y+21-2y=-3$$

Some -6y com -2y.

$$-8y+21=-3$$

Subtraia 21 de ambos os lados da equação.

$$-8y=-24$$

Divida ambos os lados por -8.

$$y=3$$

Substitua 3 por y em x=-2y+7. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-2\times 3+7$$

Multiplique -2 vezes 3.

$$x=-6+7$$

Some 7 com -6.

$$x=1$$

O sistema está resolvido.

$$x=1,y=3$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 3}&-\frac{2}{-2-2\times 3}\\-\frac{3}{-2-2\times 3}&\frac{1}{-2-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=1,y=3$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

Para tornar x e 3x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 3 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 1.

$$3x+3\times 2y=3\times 7,3x-2y=-3$$

Simplifique.

$$3x+6y=21,3x-2y=-3$$

Subtraia 3x-2y=-3 de 3x+6y=21 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$3x-3x+6y+2y=21+3$$

Some 3x com -3x. Os termos 3x e -3x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$6y+2y=21+3$$

Some 6y com 2y.

$$8y=21+3$$

Some 21 com 3.

$$8y=24$$

Divida ambos os lados por 8.

$$y=3$$

Substitua 3 por y em 3x-2y=-3. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$3x-2\times 3=-3$$

Multiplique -2 vezes 3.

$$3x-6=-3$$

Some 6 a ambos os lados da equação.

$$3x=3$$

Divida ambos os lados por 3.

$$x=1$$

O sistema está resolvido.

$$x=1,y=3$$