Resolver {l}{x+2y=60}{x-y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 60 } \\ { x - y = 30 } \end{array} \right\}$$

Resolva para x, y

$$x=40$$

$$y=10$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$x+2y=60$$

Subtraia 2y de ambos os lados da equação.

$$x=-2y+60$$

Substitua -2y+60 por x na outra equação, x-y=30.

$$-2y+60-y=30$$

Some -2y com -y.

$$-3y+60=30$$

Subtraia 60 de ambos os lados da equação.

$$-3y=-30$$

Divida ambos os lados por -3.

$$y=10$$

Substitua 10 por y em x=-2y+60. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-2\times 10+60$$

Multiplique -2 vezes 10.

$$x=-20+60$$

Some 60 com -20.

$$x=40$$

O sistema está resolvido.

$$x=40,y=10$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 60+\frac{2}{3}\times 30\\\frac{1}{3}\times 60-\frac{1}{3}\times 30\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=40,y=10$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Subtraia x-y=30 de x+2y=60 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$x-x+2y+y=60-30$$

Some x com -x. Os termos x e -x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$2y+y=60-30$$

Some 2y com y.

$$3y=60-30$$

Some 60 com -30.

$$3y=30$$

Divida ambos os lados por 3.

$$y=10$$

Substitua 10 por y em x-y=30. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x-10=30$$

Some 10 a ambos os lados da equação.

$$x=40$$

O sistema está resolvido.

$$x=40,y=10$$